Modelo de proporción para la configuración geométrica y modular en el diseño

Modelo de proporción para la configuración geométrica y modular en el diseño

Proportion model for geometric and modular configuration design
Por: 

Jorge Ivan Gómez Angarita
Universidad Autónoma de Manizales (Caldas, Colombia)
jigomez@autonoma.edu.co

Fecha recepción:

11 de abril de 2013.

Fecha aceptación:

24 de mayo de 2013

Resumen

Los elementos formales del diseño son las bases de la composición bidimensional y tridimensionalidad, convirtiéndose en el lenguaje básico con el cual el diseñador y el ingeniero expresan un interés comunicativo manifestado de manera reflexiva. Estos elementos aparentemente separados dentro de una composición gráfica o una obra por lo general se relacionan entre sí, mostrando la globalidad en la propuesta de diseño. La invaluable importancia de las ciencias formales y en particular la geometría han hecho de la composición visual una forma de representación sistemática de entidades lineales, poligonales y circulares. Por ésta razón, se exponen una serie de simulaciones que son el preámbulo a la demostración de un modelo geométrico de proporcionalidad elaborado por el autor, y que se fundamenta en la generación de una construcción geometría que desea buscar un equilibrio visual, constructivo y correlacional entre las partes que componen un todo diseñado, ya sean objetos, productos industriales, relaciones antropométricas y estructuras en general. Dicho modelo geométrico pretende desarrollar un concepto sinérgico en el sistema composicional, manteniendo una directiva de proporcionalidad bajo el lema “La naturaleza organiza, el hombre compone.” Las simulaciones que se visualizarán convergen a una ecuación final matemáticamente consistente, que si bien amerita ser demostrada por inducción matemática, no corresponde a este artículo evidenciar dicha demostración. Hacia el final se visualizaran algunas composiciones de carácter bidimensional y tridimensional que tienen como base el modelo geométrico.

Palabras Clave

Modelo Geométrico, Proporción Áurea, Diseño Geométrico, Armonía, Composición, Canon de proporción, Conmensurabilidad, Composición Visual.

Abstract

The formal elements of design are the basis for the bi-dimensional and three-dimensional composition, becoming a basic language to be used by designers and engineers, expressing an interest in a thoughtful communication. These seemingly separated elements (within a graphic composition or work) usually relate to each other, showing the globality in the design proposal. The invaluable importance of formal sciences -- in particular Geometry-- has made visual composition a form of systematic representation of linear, polygonal and circular entities. For this reason, the article presents a series of simulations that serve as a preamble to the demonstration of a geometrical model of proportionality, developed by the author, and based on the generation of a geometric construction to find a visual, constructive and correlational balance among the component parts of a designed whole, such as objects, industrial products or general anthropometric structures. This geometric model aims to develop a synergic concept of a compositional system, preserving a proportionality policy under the slogan "Nature organizes, man builds." The simulations displayed converge to a final equation mathematically consistent that would deserve a demonstration through mathematical induction, which is beyond the scope of this paper. By the end, some dimensional compositions based on this geometric model are presented.

Keywords

Geometric Model, Golden Ratio, Geometric Design, Harmony, Composition, Canon of proportion, Commensurability, Visual Composition.

Texto completo

 

Introducción histórica a la problemática matemática de la proporción.

Toda elaboración de un proyecto de ingeniería, diseño o arquitectura, introduce en el medio una alteración espacial, donde los volúmenes, superficies, líneas, articulaciones plásticas y cromáticas concurren juntas al crear el objeto o el producto, tanto en su morfo-funcionalidad como en el comportamiento del mismo en su entorno, y su estrecha relación dimensional con el hombre; justificación que lleva a que el diseño actúe en el sentido de las proporciones, donde existe una intencionalidad visual que busca crear un orden aparente por repetición de figuras geométricas con o sin semejanza; pero con  intencionalidad formal, basada no en las formas mismas, sino en el ritmo entre tales formas.

Hay que remontarse a la antigua Grecia para poder conocer el germen de lo hoy denominado intencionalidad visual, aunque es de reconocer que en aquella época el verdadero problema era esbozar y representar lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño (evidentemente dividir indefinidamente los segmentos), cuestión que llevaría a Eudoxio a la definición de proporción, idea especificada en  el libro Elementos V donde claramente éste expone: “magnitudes tienen la misma razón, la primera de la segunda y la tercera de la cuarta, si equimúltiplos de la primera y la tercera, y equimúltiplos de la segunda y la cuarta son, a la vez, respectivamente, menores, iguales o mayores” (def. 5).

 

 

Con esta definición se soslaya la cuestión de la conmensurabilidad de segmentos, áreas y volúmenes una vez establecidas las definiciones de mayor, menor y de razón entre dos magnitudes. Eudoxio contribuyó además con una gran aportación al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes, estableciendo con ello que: “las áreas de dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios; los  volúmenes de dos esferas a los cubos de sus radios; el volumen de un prisma es un tercio el volumen de un prisma de igual base y altura; y el de un cono es un tercio del cilindro de igual base y altura.”

Por estas sencillas razones para Eudoxio no tiene sentido preguntar cuál es el área del círculo o el volumen de una esfera, sino cuál es la relación que existe entre las áreas de dos círculos, entre los volúmenes de dos esferas, etc. Con esta definición de Eudoxio dejamos a un lado la preocupación por la inconmensurabilidad que existe entre círculos y cuadrados; esferas y cubos; etc. y nos introducimos en la realidad de la comparación: comparamos cuadrados con cuadrados y círculos con círculos, etc., sentando así Eudoxio el primer indicio del concepto de límite más conocido como el método de exhaución, método que también se conoce por los elementos euclidianos presentados en Libro X y cuya proposición 1 dice: “dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud mayor que su mitad y de lo que queda otra mayor que su mitad y se repita el proceso continuamente, quedara una magnitud menor que la menor de las magnitudes dadas.”

Para establecer este teorema, Euclides recurre al hoy día llamado postulado de Arquímedes el cual dice: “dadas dos magnitudes desiguales, se puede alcanzar y superar la mayor repitiendo la menor un número suficiente de veces”, principio equivalente a la proposición 1 del Libro X. Es de aclarar que Euclides introduce una definición de proporción antes de la conocida en aquella época y enunciada de la siguiente manera: “se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se pueden multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra”. Euclides introdujo la definición anterior pensando en que todas  las magnitudes tienen razón. El postulado de Arquímedes lo uso Euclides en su demostración en la cual comete  una ligereza al utilizar el principio. Más adelante Hilbert en sus tratados de geometría de 1899 destaca la importancia del postulado de Arquímedes en la estructura de la geometría, al establecer el postulado de continuidad.

Para retomar las ideas manejadas por Eudoxio con respecto al método de exhausión,  es bueno seguir a Euclides, puesto que este último usa el método en la conocida proposición 2 del Libro XII: “los polígonos regulares llenan el circulo que los circunscribe”. El método de exhausión permite determinar aproximadamente el área bajo una  curva inscribiendo figuras planas regulares que permitan una aproximación a dicha curva, demostrando así Euclides que los polígonos tienden al círculo. Basados en esto, Arquímedes demuestra que en un segmento parabólico se inscribe un triángulo y, en cada segmento lateral que resulta se inscribe otro triángulo y así sucesivamente hasta que resulta el área del segmento de la parábola, mostrándose una colección (suma) infinita de áreas, dando punto de partida a una serie de valores. ¿Y qué es una serie? Es precisamente una suma que tiene infinidad de sumandos.

Es así como Arquímedes, además de calcular áreas y volúmenes utilizando el método de exhausión, se muestra como uno de los genios más sorprendentes al iniciar el camino de las series, que con sus variaciones pertinentes en el pasar de los siglos retomarán Newton, Cauchy, Riemann, Fourier, Dirichlet, para introducir definitivamente el concepto de integral.

 

 La armonía composicional correlacionada a la figura humana.

A lo largo de la historia han surgido diferentes teorías y métodos sobre la composición, el importante arquitecto romano Vitruvio, acepta estos principios, pero incluye en ellos el concepto de la simetría bajo el precepto correlacionado de medidas que mantienen diversos elementos en una obra y por ende en un conjunto. Bajo esta idea Vitruvio formula matemáticamente la división de un espacio geométrico, que evidencia la sección aurea formada por la bisección de un cuadro que forma dos rectángulos; en dicha bisección se usa como radio una diagonal que recorre uno de los rectángulos formando un ángulo de barrido de 60°, el cual amplía una dimensión formando un segmento b que convierte al cuadrado DFEB en un rectángulo DKJB, (Gráfico 1). Finalmente se forma un "rectángulo áureo", compuesto por tres rectángulos, uno de ellos de mayor área a los otros dos.

                                    

Gráfico 1. Sección áurea que lleva al rectángulo áureo. Fuente: elaboración propia.

 

Vitruvio relaciona esta armonía proporcional a la medida del hombre, mostrando el vínculo  entre ese espacio y la antropometría como las bases para la construcción humana; este concepto presenta al hombre como centro de la medida, por esta razón la regla de las proporciones de la figura humana busca un modelo al tipo ideal aceptado o con características perfectas, precepto proporcional que se denomina canon. El canon más antiguo acerca de las proporciones  humanas se encontró en Egipto (aprox 3000 años a. C.), tiempo después el arquitecto romano Vitruvio, escribe 10 tomos de ingeniería hidráulica, mecánica y aplicaciones en arquitectura civil e ingeniería militar, donde se marca el interés por las proporciones del cuerpo y la importancia relacional de estas con la fabricación de objetos y obras de ingeniería. En la Edad Media, el monje Dionisio de Phourna Agrapha, describió la altura del cuerpo humano tomando como base la cabeza multiplicada nueve veces (nueve cabezas). Luego en el siglo XV el italiano Cennino Cennini, describe la altura del hombre como igual a su anchura con los brazos extendidos. En el Renacimiento, Leonardo Da Vinci realiza el dibujo de la figura humana (Gráfico 2), basado en la normatividad propuesta por el arquitecto Vitruvio (Blázquez, 1986), quien afirma que la naturaleza realiza una distribución de las medidas del cuerpo humano como sigue:

“4 dedos hacen 1 palma, y 4 palmas hacen 1 pie, 6 palmas hacen 1 codo, 4 codos hacen la altura del hombre. Y 4 codos hacen 1 paso, y 24 palmas hacen un hombre; si separas la piernas lo suficiente como para que tu altura disminuya 1/14 y estiras y subes los hombros hasta que los dedos  estén al nivel del borde superior de tu cabeza, has de saber que el centro geométrico de tus extremidades separadas estará situado en tu ombligo y que el espacio entre las piernas será un triángulo equilátero. La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. Desde el nacimiento del pelo hasta la punta de la barbilla es la décima parte de la altura de un hombre; desde la punta de la barbilla a la parte superior de la cabeza es un octavo de su estatura; desde la parte superior del pecho al extremo de su cabeza será un sexto de un hombre. Desde la parte superior del pecho al nacimiento del pelo será la séptima parte del hombre completo. Desde los pezones a la parte de arriba de la cabeza será la cuarta parte del hombre. La anchura mayor de los hombros contiene en sí misma la cuarta parte de un hombre. Desde el codo a la punta de la mano será la quinta parte del hombre; y desde el codo al ángulo de la axila será la octava parte del hombre. La mano completa será la décima parte del hombre; el comienzo de los genitales marca la mitad del hombre. El pie es la séptima parte del hombre. Desde la planta del pie hasta debajo de la rodilla será la cuarta parte del hombre. Desde debajo de la rodilla al comienzo de los genitales será la cuarta parte del hombre. La distancia desde la parte inferior de la barbilla a la nariz y desde el nacimiento del pelo a las cejas es, en cada caso, la misma, y, como la oreja, una tercera parte del rostro.”

Las medidas anteriormente expuestas, fueron usadas por el arquitecto Vitruvio en la construcción de sus obras civiles.

 

Gráfico 2. Hombre de Vitruvio (Homo cuadratus), Leonardo da Vinci (1485-1490). Fuente: Galería de la Academia (Venecia), fotografía por Luc Viatour / www.Lucnix.behttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Da_Vinci_Vitruve_Luc_Viatour.jpg

 

Siglos después y con la llegada de la segunda guerra mundial se disminuyen las posibilidades de diseñar, favoreciendo la atención en actividades del pensamiento que permitieron la elaboración de nuevas teorías en torno a la proporcionalidad. Es así como entre los años 1942 y 1948  el arquitecto Le Corbusier retoma la antigua idea de establecer un vínculo entre el hombre y las obras civiles, llevándolo al desarrollo del Modulor como sistema de medidas que relaciona la proporción aurea con las medidas del cuerpo humano; esta teoría muestra funcionalidad y armonía estética en la arquitectura y el diseño (Gráfico 3). El fundamento del Modulor fue publicado en 1950 y debido a su éxito Le Corbusier propuso el Modulor 2 en 1955, adaptando la altura de 1.83 m del hombre sajón a la altura del hombre latino en 1.75 m.

 

Gráfico 3: Modulor de Le Corbusier. Fuente: Le Corbusier, 1953:49.

 
Hacia un modelo de proporción

El acto de diseñar es una acción motivada por la tendencia a amalgamar una necesidad del ser humano con un saber específico y con la creatividad; bajo un interés comunicativo y emotivo que se manifiesta de manera reflexiva; puede ser mutable dependiendo de las ideas, del pensamiento descriptivo y de la abstracción suscitada de un estudio claro de los factores humanos. Esto justifica la importancia de estudiar e investigar sobre la conmensurabilidad, simetría y armonía  en la composición visual bajo el lema “la naturaleza organiza, el hombre compone.”

Acorde a estos lineamientos que diría usted como lector de este artículo, si le sugiriera cortar una recta cualquiera en uno o más segmentos, pero de una manera correlacionada (guardando una relación geométrica continua en cada corte); manteniendo la evidencia en las relaciones geométricas, el dibujo de las mismas y las correlaciones matemáticas. Ahora, de acuerdo a lo anteriormente expresado, piense en la posibilidad de seccionar esa recta bajo precepto no áureos, o áureos de manera que su división armónica haga referencia a que uno de los segmentos es menor y el otro mayor, estableciendo una relación de; o piense en la posibilidad de seccionar esa recta en varias partes, pero guardando la relación geométrica y la correlación matemática de los elementos geométricos.

Algunas preguntas pueden surgir con respecto a lo anteriormente expuesto: ¿Cuál es la razón o el sentido de realizar un seccionamiento manteniendo la armonía y las relaciones geométricas? ¿Qué importancia tiene esto? Bueno, las respuestas a estas preguntas se fundamentan en la necesidad de una composición visual que combine dos o más elementos geométricos con un tercero y quizá con un cuarto, buscando una relación de encaje o ensamble que devele el concepto sinérgico en el sistema composicional, manteniendo una directiva de proporcionalidad.

Una composición logra un balance equilibrado mediante el uso de puntos que llevan a líneas; líneas a superficies; y superficies a volúmenes armónicamente entrelazados; esta práctica común en el diseño se denomina geometrizar, y se define como el traslado de un realismo bidimensional o tridimensional a formas básicas geométricas (geometría euclidiana) o bien otro tipo de geometría no euclidiana para buscar superficies y volumetrías que muestren relaciones armónicas vinculadas a los espacios con el hombre y lo diseñado, buscando formar un conjunto espacial que da sentido y contexto a un proyecto ( la realidad que el hombre plasma en un esquema; es geometrizar). Ahora, cuando se modula en diseño, se refiere a la distribución coherente y lógica de las estructuras que sustentarán la idea de lo que se desea diseñar (los esquemas geométricos que llevan a las realidades objetuales); por esta razón la modulación está basada en principios geométricos que hacen prevalecer la armonía. La geometrización y la modulación, parten de un eje común que es la geometría como lenguaje relacional entre la realidad y lo conceptual. De acuerdo con lo anterior es posible pensar en una manera de geometrizar que permita buscar la armonía en lo que se diseña, partiendo de principios geométricos donde las relaciones proporcionales basadas en la construcción (instrumentos o sistemas CAD), fácilmente crezcan o decrezcan en un área determinada; manteniendo las  relaciones armónicas bajo la teoría de acción de grupo, isometrías y simetrías.

En un trabajo anterior (Gómez, 2012) puede encontrarse una descripción detallada del diseño geométrico que será punto de partida para la modulación; por su interés para el presente texto se ha incorporado como Anexo 1. Por otra parte, la demostración matemática del modelo geométrico puede consultarse en el Anexo 2.

 

Aplicaciones geométricas bidimensionales.

Los resultados iniciales de investigación sobre este modelo, han contribuido con la construcción de caracoles y la geometrización de letras (Gráfico 4).

Gráfico 4. Construcción de caracoles siguiendo los parámetros de geometrización establecidos. Fuente: Gómez, 2012:111.

 

Estas construcciones pueden ser visualizadas en la simulación Caracoles y Letras”:

Otra aplicación geométrica se basa en la composición y distribución de espacios bidimensionales para la construcción de letras; como se muestra a continuación:

 

Gráfico No. 5. Construcción de letras siguiendo los parámetros de geometrización establecidos. Fuente: Gómez, 2012:111.

Y su construcción se muestra en la simulación “letras una teoría”:

En el Anexo 3, pueden consultarse otras aplicaciones matemáticas bidimensionales basadas en este modelo.

 

Aplicaciones al diseño y configuración geométrica con el modelo de proporción.

Los primeros diseños que tienen que ver con la configuración de algunas formas, parten de replicar la construcción geométrica del modelo de proporción (Gráficos 6, 7, 8 y 9); es evidente que aún queda un largo camino por recorrer en el diseño bidimensional y tridimensional, pero las aplicaciones se develarán en la medida que se realicen experimentaciones en la configuración.

Gráfico  6. Módulo trapezoide (deformado o modificado con una tensión) con repetición de forma, que presenta una gradación de tamaño dispuesto en espiral, generando una radiación centrífuga dinámica. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2012).

 

Gráfico 7. Modulo trapezoide en axonometría evidenciando la repetición formal a 30°. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2012).

 

Gráfico 8. Formación de un caracol con la repetición modular de gradación a 22,5°, ángulo muy cercano al que permite la formación aurea en la recta x. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2012).

 

Gráfico 9. Caracol en axonometría mostrando la repetición del módulo de superficie cilíndrica circular a 22,5°. Fuente: Elaboración propia (J.I.Gómez & D. Cárdenas, 2013).

 

 


 

ANEXO 1 
Desarrollo de polígonos triangulares
Fuente: Gómez, 2012.

Ejemplo Simulación Geométrica

Construcción de un primer polígono triangular

De acuerdo a como lo indica la Figura 1; constrúyase  un cuarto de circunferencia de radio R1 en la cual se inscribe media circunferencia azul de radio R2=a=b; en dicha circunferencia azul se inscribe un polígono triangular isósceles (dos lados iguales nombrados como R2 =a=b y menores con respecto al tercer lado “c) generado por la revolución del radio R2 con un ángulo de 2b1 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del polígono triangular son llamados b1 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b1.

 

Figura 1. Construcción del primer polígono triangular. Fuente: elaboración propia

 

Construcción del segundo polígono triangular

Si se analiza la Figura 2, se encuentra que a partir del centro del lado mayor “cdel polígono triangular, se puede construir una segunda media circunferencia verde de radio R3=c/2 ∧ R3<R2=a=b; en dicha circunferencia verde se inscribe un segundo polígono triangular isósceles (dos lados iguales nombrados como R3 =c/2 y menores con respecto al tercer lado “d) generado por la revolución del radio R3 con un ángulo de 2b2 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del segundo polígono triangular son llamados b2 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b2.

 

Figura 2. Construcción del segundo polígono triangular. Fuente: elaboración propia.

 

Construcción de un tercer polígono triangular

Si se analiza la Figura 3, se encuentra que a partir del centro del lado mayor “ddel polígono triangular, se puede construir una tercera media circunferencia roja de radio R4=d/2 ∧ R4<R3<R2=a=b; en dicha circunferencia roja se inscribe un tercer polígono triangular isósceles (dos lados iguales nombrados como R4=d/2 y menores con respecto al tercer lado “e) generado por la revolución del radio R4 con un ángulo de 2b3 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del tercer polígono triangular son llamados b3 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b3.

 

Figura 3. Construcción del tercer polígono triangular. Fuente: elaboración propia.

 

Construcción del cuarto  polígono triangular

Si se analiza la Figura 4, se encuentra que a partir del centro del lado mayor “edel polígono triangular, se puede construir una cuarta media circunferencia azul de radio R5=e/2 ∧ R5<R4<R3<R2=a=b; en dicha circunferencia azul se inscribe un cuarto polígono triangular isósceles (dos lados iguales nombrados como R5=e/2 y menores con respecto al tercer lado “f”) generado por la revolución del radio R5 con un ángulo de 2b4 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del cuarto polígono triangular son llamados b4 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b4.

 

Figura 4. Construcción del cuarto polígono triangular. Fuente: elaboración propia.

 

Construcción del quinto  polígono triangular

Si se analiza la Figura 5, se encuentra que a partir del centro del lado mayor “f” del polígono triangular, se puede construir una quinta media circunferencia negra de radio R6=f/2 R6<R5<R4<R3<R2=a=b; en dicha circunferencia negra se inscribe un quinto polígono triangular isósceles (dos lados iguales nombrados como R6=f/2 y menores con respecto al tercer lado “g) generado por la revolución del radio R6 con un ángulo de 2b5 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del quinto polígono triangular son llamados b5 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b5.

 

Figura 5. Construcción del quinto polígono triangular. Fuente: elaboración propia.

 

Construcción del enésimo polígono triangular

A partir del centro del lado mayor zn del enésimo polígono triangular isósceles (los 2 lados menores c/u = zn/2cosbn  ≤ zn); se puede construir una media circunferencia de radio denominado como Rzn =zn/2 ∧ Rzn <Rzn-1 < Rzn-2…. Rzn-(n-3) < Rzn-(n-2) <Rz1; en dicha circunferencia se inscribe el enésimo más un polígono triangular isósceles “o” (n+1)-polígono (dos lados iguales nombrados como Rzn =zn/2 y menores con respecto al tercer lado zn+1), generado por la revolución del radio Rzn =zn/2 con un ángulo de 2bn+1 en dirección de las manecillas del reloj. Los dos ángulos menores e iguales del enésimo más un polígono triangular son llamados b n+1 cada uno, luego el tercer ángulo es 180°-2b n+1.

 

Sobre los ángulos

Los ángulos menores que forman a cada polígono triangular isósceles son denominados:

b1, b2, b3, b4.......... bn-2, bn-1,  bn respectivamente.

Los ángulos mayores que forman a cada polígono triangular isósceles son denominados:

180°-2b1,  180°-2b2,  180°-2b3,.., 180°-2b n, 180°-2b n+1

El primer polígono triangular está conformado por los ángulos  (b1, b1, 180°-2b1).

El segundo polígono triangular está conformado por los ángulos  (b2, b2, 180°-2b2).

El enésimo polígono triangular está conformado por los ángulos  ( bn ,  bn , 180°-2bn).

Durante toda la modulación, es posible geometrizar todos los polígonos isósceles con iguales ángulos menores (no olvidar que cada polígono isósceles posee dos lados menores e iguales llamados b cada uno y un ángulo mayor denominado 180°-2b), luego:

b1= b2= b3= b4.......... bn-2= bn-1=  bn

También es posible geometrizar los polígonos isósceles con ángulos diferentes entre sí, o iguales algunos y diferentes a otros:

b1 b2 b3 b4.......... bn-2 bn-1  bn

Por esta razón las longitudes de los radios R2=a=b, R3=c R4=d, R5=e, R6=f,…… R27=z, Rzn-(n-2), Rzn-(n-3),…..Rzn-2,  Rzn-1, Rzn, respectivamente generadas por la revolución de los mismos; dependerá de los  ángulos, b1, b2, b3, b4...bn-2, bn-1,  bcorrespondientemente.

Conclusiones del modelo geométrico para la configuración geométrica y modular en el diseño
  • Cuando cada polígono triangular isósceles durante la geometrización posee iguales ángulos menores, de tal manera que b1= b2= b3= b4 ... bn-2= bn-1=  bn; se forman una serie de medias circunferencias que seccionan el cuarto de circunferencia de radio R1, generando una serie de longitudes.
  • El  ángulo b1 formará la media circunferencia C2
  • El  ángulo bn formará la media circunferencia Cn+1 (Figura 6)

 

Figura 6. Nominación de las medias circunferencias. Fuente: elaboración propia.

  • En el primer cuarto de circunferencia de radio R1 es posible encontrar 90°/b polígonos triangulares isósceles (NPOLIGONOS=90°/b ), de manera completa, siempre y cuando el ángulo b= divisor comprendido entre [0° , 90°] ∧ b ≤ 45°; además los ángulos menores de cada polígono triangular isósceles deben garantizar la igualdad  (b1= b2= b3= b4.......... bn-2= bn-1=  bn)

 

Figura 7. Polígonos triangulares en el interior del cuarto de circunferencia de radio R1.  En esta gráfica se utilizó un ángulo b=10°; el número de polígonos se establece por NPOLIGONOS=90°/b polígonos triangulares isósceles, lo que equivale de manera completa a 90°/10° “o” NPOLIGONOS=9 polígonos triangulares dentro del cuarto de circunferencia formado por R1. Fuente: elaboración propia.

  • Cuando se geometriza cada polígono triangular isósceles (hay dos ángulos menores e iguales llamados b con respecto al tercer ángulo) con diferentes ángulos b respectivamente, de tal manera que b1  b2  b3 b b3  b4…bn-2  bn-1 bn; se forman una serie de medias circunferencias que seccionan el cuarto de circunferencia de radio R1, generando una serie de longitudes que aparentemente no tienen una razón.
  •  Existe una relación entre la vertical trazada en el primer polígono isósceles inscrito en la primera media circunferencia C1 que generó la revolución del radio R2; con respecto a el corte que suscitó la segunda media circunferencia C2 con el radio R1; esa relación es sucesiva, puesto que se repite continuamente la intersección de una vertical trazada desde el n-polígono isósceles inscrito en la n-media circunferencia Cn generada por la revolución del radio, Rzn+1; con la (n+1)media circunferencia Cn+1 que corta conjuntamente  la vertical, el radio R1 y media circunferencia Cn+1 (Figuras 8 y 9).

 

Figura 8. Distancia x1 generada por relación entre la vertical trazada en el primer polígono isósceles inscrito en la primera media circunferencia C1; con respecto a el corte que suscitó la segunda media circunferencia C2 con el radio R1 Fuente: elaboración propia.

 

Figura 9. Distancias de  x1 a x14 generadas por el corte entre las verticales trazadas en los nueve primeros polígonos isósceles; con respecto a las medias circunferencias C1 a C9 y el radio R1 Fuente: elaboración propia.

 

ANEXO 2
Demostración matemática del modelo geométrico

1. Demostración matemática y correspondencia de la recta D”o”Y  a (D=Y).

 

Figura 10.  Distancia x1 generada por relación entre la vertical trazada en el primer polígono isósceles inscrito en la primera media circunferencia C1; con respecto al corte que suscitó la segunda media circunferencia C2 con el radio R1Fuente: Elaboración propia.

 

Geométricamente se demuestra (y se visualiza con los toros de color naranja dibujados en la Figura 10) la relación entre la vertical trazada en el primer polígono isósceles inscrito en la primera media circunferencia C1 (la cual generó la revolución del radio R2); con respecto al corte que suscitó la segunda media circunferencia C2 con el radio R1. Esa relación es sucesiva, puesto que se repite continuamente la intersección de una vertical trazada desde el n-polígono isósceles inscrito en la n-media circunferencia Cn generada por la revolución del radio, Rzn+1; con la (n+1) media circunferencia Cn+1 que corta conjuntamente vertical, radio R1 y media circunferencia Cn+1 (Figura 10). Todo el proceso se puede observar en la simulación del siguiente vínculo: Proyecto 1

La anterior simulación simplemente busca demostrar que la recta D”o”Y (“Y” para el primer triangulo rectángulo y “D” para el segundo triangulo isósceles ambos geométricamente y posicionalmente iguales) es matemáticamente  correspondiente (D=Y); por lo tanto dicha recta interseca el eje x coincidiendo también en el corte la media circunferencia C2 (tres elementos geométricos que coinciden en un mismo punto). Posteriormente se demuestra la igualdad mediante la identidad trigonométrica:

 

 

Y se continúa con la construcción del tercer, cuarto, quinto, … hasta el noveno polígono, que son los que generarán las diferentes distancias de  x1 a x14 originadas por el corte entre las verticales trazadas en los nueve primeros polígonos isósceles, con respecto a las medias circunferencias C1 a C9 y el radio R1 (como lo muestra el grafico No. 4.); toda descripción de la demostración se puede visualizar en el vínculo Demostración matemática y correspondencia de la recta D”o”Y  a (D=Y) y comprobación de la igualdad mediante la  identidad trigonométrica del ángulo medio” (demo parte 2): Proyecto 2.

 

Figura 11. Distancias de  x1 a x14 generadas por el corte entre las verticales trazadas en los nueve primeros polígonos isósceles; con respecto a las medias circunferencias C1 a C9 y el radio R1. Fuente: Gómez, 2012:110.

 

2. Determinación de las distancias formadas desde  x1 a x11.

Se determina cada una de las distancias formadas desde  x1 a x11 comenzando con las impares:

2.1. Análisis matemático de la distancia x1 visualizada en este vínculo.
2.2. Se instaura “c” en función de “a”, en la determinación de la distancia x1
2.3. Análisis matemático de la distancia x3 visualizada en este vínculo.
2.4. Análisis matemático de la distancia x5 visualizada en este vínculo.
2.5. Se lleva “F” en función de “E”, en la determinación de la distancia x5:
2.6. Se expresa la distancia x5  en función de “a” y se inicia el Análisis matemático de la distancia x7 ; esto es visualizado en este vínculo.
2.7. Se expresa la distancia x7  en función de “a” y se inicia el Análisis matemático de la distancia x9 ; esto es visualizado en este vínculo.
2.8. Se expresa la distancia x9  en función de “a” y se inicia el Análisis matemático de la distancia x11; esto es visualizado en este vínculo.  
2.9. Se expresa la distancia x11  en función de “a”  de tal manera que al final las distancias formadas son:

 

2.10. Se realiza una transformación de cosenos a senos:

Partiendo de la sumatoria:

Utilizando la fórmula de la sustracción para el coseno:

Aplicando esta identidad a los valores de :

Globalizando la fórmula:

Las transformaciones de cosenos a senos pueden ser visualizadas en este vínculo.

2.11. Se visualizan las ecuaciones  para    realizando sustracción entre las distancias, como se muestra a continuación:
x1 - x-1 = x1
x3 - x1 = x2
x5 - x3= x4
x7 - x5 = x6
x9 - x7 = x8
x11 - x9 = x10
x2i-1 - x[2(i-1)]-1 = x2i-2
 

Nota: en el i-ésimo término x[2(i-1)]-1 cuando i=1, se genera x-1 el cual se toma como la ausencia de un valor de distancia; por lo tanto x-1 = 0

 

Obteniéndose:

 

3.  Hacia la búsqueda de los términos i-ésimos:

 

Si: i → i - 1, es porque se está evidenciando el término anterior a i, el cual reemplazado en la ecuación general:

Organizando:

Realizando la sustracción de las distancias:

x2i-1 - x[2(i-1)]-1 = x2i-2

Se obtiene:

Si de la ecuación:

El término

Es anterior al i-ésimo término:

Es porque:

 

Luego la sumatoria anterior cumple con la igualdad:

 

a = Radio del primer polígono triangular

b = ∠ Divisor comprendido entre [0°, 90°] ∧ b ≤ 45°

 

 

ANEXO 3.

Aplicaciones matemáticas bidimensionales

 

Conociendo la construcción geometría del modelo es posible establecer relaciones e inferencias en el mismo. Una manera de aproximarnos a ello es mediante la corroboración de reglas matemáticas que parten de una construcción geométrica conducente a la demostración de una de ellas, tal como lo es la sección áurea. Se denomina proporción notable áurea a la que cumple con la relación:

Luego; si una recta de longitud  “a”, es dividida en dos segmentos uno mayor “b” y otro menor “c”,  formando media y extrema razón de manera que a >b y b>c,  generándose la relación:

 

Y estableciéndose la proporción notable:

Entonces hay una perfecta relación de proporción armónica de la recta denominada sección aurea.

Un sector áureo puede o no formarse geométricamente en el eje x del diagrama cartesiano, mediante la división de ciertos sectores de dicho eje;  aplicando el modelo de proporción para  la configuración geométrica y modular en el diseño, de tal manera que se den las relaciones:

 

evidencia de esto puede ser demostrada mediante los siguientes casos.

Caso 1

Caso en el cual nunca existirá una sección áurea en el eje x aplicando el modelo de proporción para  la configuración geométrica y modular en el diseño.

Tal como se observa en la Figura 12, en la primera media circunferencia C1 se aprecia internamente la recta j con orientación angular b1 que se interseca con C1 en el punto P1 alcanzando una máxima distancia x1. Ahora, de la división de j en j/2 se puede obtener la segunda media circunferencia C2 la cual se interseca con las rectas x1 y jV; de igual manera en la segunda media circunferencia C2 se aprecia internamente la recta k con orientación angular b2 que se interseca con C2 en el punto P2 alcanzando una máxima distancia x3 = x1 +x2. Ahora, de la división de k en k/2, se puede obtener la tercera media circunferencia C3 la cual se interseca con las rectas x2 y kV.

 

Figura 12. Modelamiento geométrico para el caso en que nunca se formará en el eje x una sección áurea con los segmentos x1 y x2. Fuente: elaboración propia

 

Las distancias x1 y x2 no generan una sección áurea; el lector puede corroborar esto en la construcción de la Figura 12, simplemente midiendo las relaciones:

Y comprobando que:

Caso 2

Caso en el cual existirá una aproximación a la sección áurea en el eje x aplicando el modelo de proporción para la configuración geométrica y modular en el diseño.

Tal como se observa en la Figura 13, en la primera media circunferencia C1 se aprecia internamente la recta j con orientación angular b1 25°, que se interseca con C1 en el punto P1 alcanzando una distancia x1. Ahora, de la división de j en j/2 se puede obtener la segunda media circunferencia C2 la cual se interseca con las rectas x1 y jV; de igual manera en la segunda media circunferencia C2 se aprecia internamente la recta k con orientación angular b2 25° que se interseca con C2 en el punto P2 alcanzando una distancia x3 = x1 +x2. Ahora, de la división de k en k/2, se puede obtener la tercera media circunferencia C3 la cual se interseca con las rectas x2 y kV.

 

 

Figura 13. Modelamiento geométrico para el caso en el cual existirá una aproximación a la sección Áurea en el eje x con los segmentos x1 y x2. Fuente: elaboración propia.

 

Las distancias x1 y x2 generan una aproximación a la sección áurea; el lector puede corroborar esto, en la construcción de la Figura 13, simplemente midiendo las relaciones:

 

Y comprobando que:

 

 

Caso 3

Como muestra la figura 14, la construcción de una sección áurea en el eje x aplicando el modelo de proporción para  la configuración geométrica y modular en el diseño, se presenta cuando a pesar de la característica dinámica o irracional de la fracción, se trata de cumplir con exactitud la relación:

 

El cumplimiento a la proporción formando media y extrema razón lleva al  número de Fidias:

 

Es imposible generar geométricamente de manera exacta la media y extrema razón cuando realmente no conocemos los ángulos b1y b2, que permiten desplegar la geometría.

 

Figura 14. Modelamiento geométrico para el caso en que se formará en el eje x una sección áurea con los segmentos x1 y x2, siempre y cuando los ángulos b1y b2 sean los adecuados para formar la proporción. Fuente: elaboración propia

 

La problemática anterior se supera, partiendo de la razón anteriormente conocida:

 

Y las ecuaciones que expresan a x3, x1, x2 son:

 

 

Y según la Figura 14:

 

 

Conociendo la relación:

 

 

Se reemplaza  x3, x1 en la primera parte de la relación:

 

 

Se reemplaza x1, x2 en la segunda parte de la relación:

 

 

Obteniendo finalmente:

 

a”  es una constante.

bes una variable.

"i"  es una constante.

 

Para el cálculo de la relación 1 se tiene:

 

 

Para el cálculo de la relación 2 se tiene:

 

 

Calculando el número de Fidias para la primera ecuación:

 

 

Si:

 

 

Iterando esta ecuación, se encuentra el ángulo que define al número de Fidias. Dicho ángulo es el irracional 25,9136461865…°

Tomando límite en la fracción:

 

 

el ángulo hallado permite generar matemáticamente de manera exacta  la media y extrema razón cuando conocemos los ángulos b1y b2, en este caso:

 b1=25,9136461865…° y b2=25,9136461865…°

Para lograr una gran precisión en la construcción geométrica, se puede utilizar un sistema CAD, y así corroborarse la media y extrema razón.

 

 

Referencias

 

Blázquez, A (1986): Los diez libros de arquitectura. Barcelona: Iberia. Traducción directa del latín, con prólogo y notas de Agustín Blázquez.

 

Carrera, J. (1984): “Geometría o cálculo”. En: Las matemáticas una historia de sus conceptos. (pp. 95-136). Barcelona: Montesinos.

 

Da Vinci, Leonardo (2009): La collezione di modelli del Museo. Fondazione Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia Leonardo da Vinci, Milano, Italia 2009.

 

Euclides, (s.f.) Libro X.

 

Euclides, (s.f.) Libro XII.

 

Eudoxio, (s.f.) Elementos V. Cnido

 

FINCH, S. R(2003). “The Golden Mean”.  Mathematical Constants. pp. 5-12Cambridge, England: Cambridge University Press.

 

Gómez, J. I. (2012): “Representación matemática y geométrica de un sistema de proporción”. Scientia et Technica, 19(50), 106-110.

 

Gómez, J. I. (Escritor) & Marín, G. (programador) (2009): Desarrollo de polígonos triangulares [Simulación de presentación en swf  y html].Manizales.

 

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Gómez, J. I. (Escritor), & Ramírez, D. (programador). (2010). Demostración matemática y correspondencia de la recta D”o”Y  a (D=Y) y comprobación de la igualdad mediante la identidad trigonométrica del ángulo medio. [Simulación matemática en swf  y html]. Manizales.

 

Gómez, J. I. (Escritor), & Ramírez, D. (programador). (2010). Determinación de las distancias formadas desde  x1 a x11 en el eje x [Simulación matemática en swf y html]. Manizales.

 

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Joice, D.E. (1996, 1997, 1998) Euclid's Elements [Propositions]. Recuperado de: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html.

 

Strozzi, R. (1966). LEONARDO DA VINCI… el hombre el artista, el genio. Buenos Aires: Ediciones Selectas SRL, 3ª. Edición.

 

Última modificación: 19-06-2013 | Copyright Universidad El Bosque  | Licencia CC by-nc-sa